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开云优惠体育网页版入口名称：变量核Marcinkiewicz积分在变指数空间上的有界性质及其应用

开云优惠体育网页版入口完成单位：陇东学院

开云优惠体育网页版入口完成人：邵旭馗;王素萍;李小龙;白玉娟;李永玲

所属行业：科学研究和技术服务业

开云优惠体育网页版入口登记号：9622023J0061

开云优惠体育网页版入口简介：

①课题来源
  1955 年, Calderón 和 Zygmund 引进了一类变量核奇异积分算子, 变量核Marcinkiewicz 积分即为其中之一，其特点是积分不仅与 y 有关,还与x 到 y 的距离有关,它是经典 C-Z核推广，由于这类算子和变系数的二阶线性椭圆方程密切相关, 所以多年来倍受重视，同时，它的理论与方法已广泛地应用到偏微分方程等诸多领域。随着研究的深入，变量核奇异积分在经典空函数间上的有界性研究已日臻完善。1991 年,Kovacik 和 Rakosnik 首次提出了变指数 Lebesgue 空间理论。随着弹力力学和流体力学的发展,变指数空间受到了广泛关注.但直到 2004 年,Diening 才得到变指数 LP(·)(Rn) 空间上 Hardy- Littlewood 极大算子的有界性充分必要条件，从而再次引起人们对变指数空间的探索兴趣。
②研究目的与意义
  本项目先将经典函数空间上一些理论平移或推广到变指数空间上，再将经典欧式空间中 Marcinkiewicz 积分的分析技巧加以拓展并运用到变指数空间中，然后利用调和分析实变方法以及Sharp 极大函数等硬分析法，研究变量核分数次积分、 Marcinkiewicz 积分等在变指数 Morrey 型空间等的有界性、加权有界及弱型估计。尽可能的将一些经典空间上的重要结论推广到变指标空间上。如今，变指数空间的理论与方法已广泛融入到了诸如流体动力学, 图像处理, 弹性力学以及偏微分方程等学科领域, 对它的研究有着重要的应用现实意义。 
③主要论点与论据
   本项目利用调和分析实变方法、C-Z 分解、Sharp 极大函数以及H?lder不等式、Minkowski 不等式等硬分析方法，研究了：
 (1)对经典函数空间上的一些基础理论进行研究和探讨，将其平移或推广到相应的变指数空间上，并证明其正确性和可行性。如 Holder 不等式在变指数空间上的不同形式和应用。
   (2)变量核 Marcinkiewicz 积分及其交换子与其经典算子之间的区别与联系，将经典 LP空间中变量核 Marcinkiewicz 积分及其交换子的分析技巧拓展并运用到变指数空间中。
   (3)得到了变量核高阶交换子在Morrey-Herz 空间上的加权估计；变量核分数次积分在变指数Herz空间上的弱型估计;变量核分数次积分与 BMO 函数生成的交换子在消失广义加权变指数 Morrey 空间上的有界性质。最后，我们给出一个利用该类算子的有界性理论研究吊桥方程解的长时间行为的例子。
④创见与创新
  本项目对变量核 Marcinkiewicz 积分算子及其交换子的研究是在核函数不具备任何光滑性条件下进行的，使用的研究方法是在以前文献中没有用的过或目前最新的。概括和推广以往非变量核Marcinkiewicz 积分算子及其交换子在变指数函数空间的有关结论。所的结果可作为变指数函数空间上变量核 Marcinkiewicz 积分算子及其交换子、奇异积分算子及其交换子等有界性研究的理论基础和参考依据。
⑤存在的问题
  1.存在的技术问题：变指数 Lebesgue空间不同于或相似于经典 Lebesgue空间，其范数及其性质就有着本质的不同，变指标 Lebesgue 空间不具有平移不变性, 除了H?lder不等式，Hardy-Littlewood极大函数的有界性（加强限制经条件）等少数结论成立之外，许多重要的定理和结论很难平移或推广到相应的变指数空间上， 所以要在这类空间上继续使用经典的实变方法来研究有关问题就必然存在着一定的困难。这些也是项目后续需要探索和研究的主要内容。
2. 存在的不足：由于项目研究期限相对较短，对于变量核Marcinkiewicz 积分算子及其交换子、分数次积分算子及其交换子在一些复合变指数Herz-Hardy 空间等上的加权性质与弱型估计，以及一些交叉函数空间的相关性质缺少系统的考虑和探讨。由于学科差异，项目所取得的开云优惠体育网页版入口目前还不能直接的地应用到非线性偏微分方程理论中，还不能较深的融入到微分方程、复分析、位势论、算子理论、非线性分析、小波分析、概率论等众多领域。 由于疫情原因，无法现场参加大型《调和分析》《偏微分方程》的相关学术会议；与国内外知名调和分析专家缺乏交流与合作。今后在项目交流方面要进一步加强。